京大卒の気まぐれ数学:何回折っても整数比にならないの？

正方形の折り紙を縦に1回、横に一回半分に折ります。展開すると、対辺の中点を通る折り目がついています。この展開図の中に含まれる正方形の数は、1+4 = 5個、長方形の数は4個 (縦縦、縦横、横横、横縦)です。だから、正方形の数と長方形の数は4:5です。つまり、(長方形の数と正方形の数の比) = 4/5で、整数でなく分数です。

実は、この性質は何回繰り返しても成立するのです。nを自然数とし、n回折ったとしましょう。この時、展開図に含まれる四角形の数は $Q(n) = ({}_{2^{n}+1} C_2)^2$ 個です。(縦横それぞれの直線から２本ずつ選べば良いのです)。正方形の数は $S(n)=\sum_{k=1}^{2^{n}} k^{2}$ 個であり、長方形の数は $R(n) = Q(n) - S(n)$ ですから、正方形の数と長方形の数の比は、

$\frac{R(n)}{S(n)} = \frac{Q(n) - S(n)}{S(n) } = \frac{Q(n)}{S(n)} - 1$ となります。自乗の級数和の公式から $\frac{Q(n)}{S(n) }$ を整理しますと、 $\cfrac{ ( {}_{2^{n}+1} C_2 )^2 } {\frac{2^{n}(2^{n}+1) (2^{n+1} + 1) } {6} } = \cfrac{3 \cdot 2^{n-1}(2^{n}+1) }{2^{n+1}+1} = 2^{n-1}\cfrac{3 \cdot (2^{n}+1 ) }{2^{n+1} + 1}$ 。