京大卒の気まぐれ数学: 何等分してもやっぱり整数にならないじゃん!

折り紙を海外の人に教えると、それはそれは喜んでもらえます。紙一枚で色んなものが作れるこの文化、向こうには無いようでびっくりでした。

 

 

 

昨日は2等分した時の四角形の数について考えました。では、3等分した時は?5等分した時は?もっと小さく分けた時は?順番に考えてみましょう。

 

まずは、3等分の場合です。正方形の数と長方形の数の比は、

2^{n} \rightarrow 3^{n}として、 \cfrac{3 \cdot 3^{n}(3^{n}+1) } {2( 2\cdot 3^{n}+1)} です。しかし、2 \cdot (2 \cdot 3^{n}+1) = 4\cdot 3^{n} + 2 = 3^{n+1} + 3^{n} + 2 = (3^{n+1} + 1) + (3^{n}+1)

ですし、分母は3では割り切れません。また、 3^{n+1} + 1 \gt 3^{n}+1ですから、分母を3^{n}+1で割ることはできません。従って、正方形の数と長方形の数の比は、2当分した時と同様、整数にはなりません。

 

次は5等分の場合です。2^{n} \rightarrow 5^{n} として、 \cfrac{3 \cdot 5^{n}( 5^{n} + 1 ) } {2( 2 \cdot  5^{n}+1 )  } です。 

 2 \cdot 5^{n} +1 = 2(5^{n}+1)-1 = 5^{n}+5^{n}+1なので、2 \cdot 5^{n}+15^{n}5^{n}+1では割り切れません。

また、 2 \cdot 5^{n}+1 = 3を満たす自然数nは存在しません。従って、どうやっても分母が残りますので、比は整数になりません。

 

お気づきかと思いますが、何等分しても整数にはなりません。5等分した時と同じやり方で分母が残ってしまいます。(試してみてください)

1000等分しようが、1000000000等分しようが、中に含まれる正方形と長方形の数の比は整数にならないのです。