京大卒の気まぐれ数学: 何等分してもやっぱり整数にならないじゃん!
折り紙を海外の人に教えると、それはそれは喜んでもらえます。紙一枚で色んなものが作れるこの文化、向こうには無いようでびっくりでした。
昨日は2等分した時の四角形の数について考えました。では、3等分した時は?5等分した時は?もっと小さく分けた時は?順番に考えてみましょう。
まずは、3等分の場合です。正方形の数と長方形の数の比は、
として、です。しかし、
ですし、分母は3では割り切れません。また、ですから、分母をで割ることはできません。従って、正方形の数と長方形の数の比は、2当分した時と同様、整数にはなりません。
次は5等分の場合です。 として、 です。
なので、はやでは割り切れません。
また、を満たす自然数nは存在しません。従って、どうやっても分母が残りますので、比は整数になりません。
お気づきかと思いますが、何等分しても整数にはなりません。5等分した時と同じやり方で分母が残ってしまいます。(試してみてください)
等分しようが、等分しようが、中に含まれる正方形と長方形の数の比は整数にならないのです。