京大卒の気まぐれ数学: 何等分してもやっぱり整数にならないじゃん!
折り紙を海外の人に教えると、それはそれは喜んでもらえます。紙一枚で色んなものが作れるこの文化、向こうには無いようでびっくりでした。
昨日は2等分した時の四角形の数について考えました。では、3等分した時は?5等分した時は?もっと小さく分けた時は?順番に考えてみましょう。
まずは、3等分の場合です。正方形の数と長方形の数の比は、
として、です。しかし、
ですし、分母は3では割り切れません。また、ですから、分母をで割ることはできません。従って、正方形の数と長方形の数の比は、2当分した時と同様、整数にはなりません。
次は5等分の場合です。 として、 です。
なので、はやでは割り切れません。
また、を満たす自然数nは存在しません。従って、どうやっても分母が残りますので、比は整数になりません。
お気づきかと思いますが、何等分しても整数にはなりません。5等分した時と同じやり方で分母が残ってしまいます。(試してみてください)
等分しようが、等分しようが、中に含まれる正方形と長方形の数の比は整数にならないのです。
京大卒の気まぐれ数学:何回折っても整数比にならないの?
正方形の折り紙を縦に1回、横に一回半分に折ります。展開すると、対辺の中点を通る折り目がついています。この展開図の中に含まれる正方形の数は、1+4 = 5個、長方形の数は4個 (縦縦、縦横、横横、横縦)です。だから、正方形の数と長方形の数は4:5です。つまり、(長方形の数と正方形の数の比) = 4/5で、整数でなく分数です。
実は、この性質は何回繰り返しても成立するのです。nを自然数とし、n回折ったとしましょう。この時、展開図に含まれる四角形の数は個です。(縦横それぞれの直線から2本ずつ選べば良いのです)。正方形の数は個であり、長方形の数はですから、正方形の数と長方形の数の比は、
となります。自乗の級数和の公式から を整理しますと、。
は奇数で、は偶数です(n=1の場合は奇数ですが、分母を割れないので却下)。また、
ですから、分子より分母の方が常に大きいです。勿論、分母は奇数なので、2で割り切れません。
従って、は整数になりません。正方形の数と長方形の数の比は、何回折っても整数にならないのです。
気になる方は、何度でも折って試してみてください。